7.4 The Standard Normal Distribution

题目 1 基础

已知Z服从标准正态分布Z ~ N(0, 1²)，计算以下概率：

1. P(Z ≤ 0.5)
2. P(Z > 1.2)
3. P(-1.5 < Z < 0.8)
4. P(|Z| > 1.96)

题目 2 基础

对于以下标准正态分布的概率，找到对应的Z值：

1. 找到z₁，使得P(Z ≤ z₁) = 0.9
2. 找到z₂，使得P(Z > z₂) = 0.05
3. 找到z₃，使得P(-z₃ < Z < z₃) = 0.95
4. 找到z₄，使得P(Z ≤ z₄) = 0.15

题目 3 中级

已知随机变量X服从正态分布X ~ N(50, 16)，计算以下概率：

1. P(X ≤ 55)
2. P(X > 42)
3. P(45 < X < 55)
4. P(X < 40 或 X > 60)

题目 4 中级

已知随机变量X服从正态分布X ~ N(100, 25)，找到以下值：

1. 找到a，使得P(X ≤ a) = 0.85
2. 找到b，使得P(X > b) = 0.2
3. 找到c和d，使得P(c < X < d) = 0.9，且c和d关于均值对称

题目 5 中级

某城市的日平均气温服从正态分布，均值为20°C，标准差为5°C。计算：

1. 日平均气温在15°C到25°C之间的概率
2. 日平均气温高于30°C的概率
3. 日平均气温低于10°C的概率

题目 6 困难

某公司员工的月薪服从正态分布，均值为8000元，标准差为1500元。

1. 计算月薪在6000元到10000元之间的员工比例
2. 公司决定给月薪最高的10%的员工加薪，计算加薪的最低月薪标准
3. 如果有200名员工，预计有多少名员工的月薪低于5000元？

题目 7 困难

某工厂生产的电子元件寿命服从正态分布，均值为1000小时，标准差为100小时。

1. 计算元件寿命超过1200小时的概率
2. 如果元件寿命低于800小时被视为不合格，计算不合格率
3. 工厂希望确保95%的元件寿命不低于某个标准，这个标准应该设定为多少小时？
4. 如果要将不合格率（低于800小时）降低到1%以下，标准差需要减小到多少？

题目 8 困难

某考试成绩服从正态分布，均值为70分，标准差为8分。

1. 计算成绩在60分以下的学生比例
2. 计算成绩在80分以上的学生比例
3. 如果要将及格线设定为使得30%的学生不及格，及格线应该是多少分？
4. 如果前15%的学生获得A等级，那么获得A等级的最低分数是多少？

题目 9 困难

已知某种产品的重量服从正态分布，均值为500克，标准差为10克。质检人员从生产线上随机抽取产品进行检验。

1. 计算单个产品重量在485克到515克之间的概率
2. 如果抽取100个产品，预计有多少个产品的重量在485克到515克之间？
3. 为了提高产品质量，工厂改进了生产工艺，使得标准差减小到5克。计算改进后单个产品重量在485克到515克之间的概率。
4. 如果要确保99%的产品重量在490克到510克之间，标准差需要控制在多少以内？

题目 1 答案

1. P(Z ≤ 0.5) = 0.6915
2. P(Z > 1.2) = 1 - P(Z ≤ 1.2) = 1 - 0.8849 = 0.1151
3. P(-1.5 < Z < 0.8) = P(Z < 0.8) - P(Z < -1.5) = 0.7881 - 0.0668 = 0.7213
4. P(|Z| > 1.96) = 2 × P(Z > 1.96) = 2 × (1 - 0.9750) = 0.05

题目 2 答案

1. z₁ = 1.28（查表得P(Z ≤ 1.28) ≈ 0.9）
2. z₂ = 1.645（因为P(Z > z₂) = 0.05，所以P(Z ≤ z₂) = 0.95）
3. z₃ = 1.96（P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95）
4. z₄ = -1.04（查表得P(Z ≤ -1.04) ≈ 0.15）

题目 3 答案

标准化：Z = (X - 50)/4

1. P(X ≤ 55) = P(Z ≤ (55-50)/4) = P(Z ≤ 1.25) = 0.8944
2. P(X > 42) = P(Z > (42-50)/4) = P(Z > -2) = 1 - P(Z ≤ -2) = 1 - 0.0228 = 0.9772
3. P(45 < X < 55) = P(-1.25 < Z < 1.25) = P(Z < 1.25) - P(Z < -1.25) = 0.8944 - 0.1056 = 0.7888
4. P(X < 40 或 X > 60) = P(Z < -2.5) + P(Z > 2.5) = 0.0062 + 0.0062 = 0.0124

题目 4 答案

标准化：Z = (X - 100)/5

1. P(X ≤ a) = 0.85 ⇒ P(Z ≤ (a-100)/5) = 0.85 ⇒ (a-100)/5 = 1.04 ⇒ a = 105.2
2. P(X > b) = 0.2 ⇒ P(Z > (b-100)/5) = 0.2 ⇒ (b-100)/5 = 0.84 ⇒ b = 104.2
3. P(c < X < d) = 0.9，对称 ⇒ P(Z < (c-100)/5) = 0.05 和 P(Z < (d-100)/5) = 0.95
   因此：(c-100)/5 = -1.645 ⇒ c = 91.775；(d-100)/5 = 1.645 ⇒ d = 108.225

题目 5 答案

标准化：Z = (X - 20)/5

1. P(15 < X < 25) = P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0.8413 - 0.1587 = 0.6826
2. P(X > 30) = P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228
3. P(X < 10) = P(Z < -2) = 0.0228

题目 6 答案

标准化：Z = (X - 8000)/1500

1. P(6000 < X < 10000) = P(-1.33 < Z < 1.33) = P(Z < 1.33) - P(Z < -1.33) = 0.9082 - 0.0918 = 0.8164
2. 前10%对应P(Z > z) = 0.1 ⇒ P(Z ≤ z) = 0.9 ⇒ z = 1.28
   因此：X = 8000 + 1.28 × 1500 = 9920元
3. P(X < 5000) = P(Z < -2) = 0.0228
   预计人数：200 × 0.0228 ≈ 5人

题目 7 答案

标准化：Z = (X - 1000)/100

1. P(X > 1200) = P(Z > 2) = 1 - P(Z ≤ 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228
2. P(X < 800) = P(Z < -2) = 0.0228
3. P(X ≥ x) = 0.95 ⇒ P(Z ≥ (x-1000)/100) = 0.95 ⇒ (x-1000)/100 = -1.645
   因此：x = 1000 - 1.645 × 100 = 835.5小时
4. P(X < 800) < 0.01 ⇒ P(Z < (800-1000)/σ) < 0.01 ⇒ (800-1000)/σ < -2.33
   因此：σ < 200/2.33 ≈ 85.84小时

题目 8 答案

标准化：Z = (X - 70)/8

1. P(X < 60) = P(Z < -1.25) = 0.1056
2. P(X > 80) = P(Z > 1.25) = 1 - P(Z ≤ 1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056
3. 30%不及格 ⇒ P(X < x) = 0.3 ⇒ P(Z < (x-70)/8) = 0.3 ⇒ (x-70)/8 = -0.52
   因此：x = 70 - 0.52 × 8 = 65.84分
4. 前15%获得A ⇒ P(X > x) = 0.15 ⇒ P(Z > (x-70)/8) = 0.15 ⇒ (x-70)/8 = 1.04
   因此：x = 70 + 1.04 × 8 = 78.32分

题目 9 答案

标准化：Z = (X - 500)/10

1. P(485 < X < 515) = P(-1.5 < Z < 1.5) = P(Z < 1.5) - P(Z < -1.5) = 0.9332 - 0.0668 = 0.8664
2. 预期数量：100 × 0.8664 ≈ 87个
3. 改进后：Z = (X - 500)/5
   P(485 < X < 515) = P(-3 < Z < 3) = P(Z < 3) - P(Z < -3) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974
4. P(490 < X < 510) = 0.99 ⇒ P(-1 < Z < 1) = 0.99
   标准化：Z = (X - 500)/σ ⇒ -1 = (490-500)/σ 和 1 = (510-500)/σ
   因此：σ = 10/2.576 ≈ 3.88克